בגרות חורף 2025 · שאלה 6 – גופים במרחב: נרות בצורת פירמידה וחרוט3 יחידות 372 · שיעור 46
📄 נוסח השאלה
במפעל מייצרים שני סוגים של נרות שעווה: נר מסוג א', שצורתו פירמידה ישרה שבסיסה ריבוע, ונר מסוג ב', שצורתו חרוט ישר (ראו סרטוט).
נתון כי אורך צלע הבסיס של נר מסוג א' הוא 6 ס"מ וגובה הנר הוא 12 ס"מ.
א. מצאו את נפח השעווה של נר מסוג א'.
📄 נוסח השאלה · המשך
נתון כי האורך של רדיוס הבסיס של נר מסוג ב' הוא 4 ס"מ, וגובה הנר הוא 10 ס"מ. ככל שנפח השעווה של נר גדול יותר – הנר ידלק זמן ארוך יותר.
ב. קבעו איזה נר ידלק זמן ארוך יותר – נר מסוג א' או נר מסוג ב'. נמקו את קביעתכם.
ג. (1) מצאו את האורך של הקו היוצר של נר מסוג ב'.
(2) מצאו את שטח המעטפת של נר מסוג ב'.
📄 נוסח השאלה · המשך
ביום מסוים התקבלה במפעל הזמנה לייצור 300 נרות מסוג א' ו־250 נרות מסוג ב'.
ד. האם נפח של 60,000 סמ"ק שעווה יספיק למפעל לייצור הזמנה זו? נמקו את תשובתכם.
סעיף א – נפח נר מסוג א'
הבסיס ריבוע שצלעו 6:
S = a · a
נציב a = 6:
S = 6 · 6 = 36
V = S · h3
נציב S = 36 , h = 12:
סעיף א – נפח נר מסוג א' · המשך
נציב S = 36 , h = 12:
V = 36 · 123
📐 נפח פירמידה
V = 4323 = 144
✅ פתרון סופי: 144 סמ"ק
📐 נפח פירמידה
V = שטח הבסיס · גובה3
סעיף ב – איזה נר ידלק יותר זמן
V = πr2 · h3
נציב r = 4 , h = 10:
V = π · 42 · 103
📐 נפח חרוט
V = 160π3
V ≈ 167.55
167.55 > 144
📐 נפח חרוט
V = πr2 · h3
סעיף ב – איזה נר ידלק יותר זמן · המשך
167.55 > 144
לנר מסוג ב' יש יותר שעווה, ולכן הוא ידלק זמן ארוך יותר.
✅ פתרון סופי: נר מסוג ב'
סעיף ג (1) – הקו היוצר
הגובה, רדיוס הבסיס והקו היוצר יוצרים משולש ישר זווית; הקו היוצר הוא היתר:
l2 = r2 + h2
📐 משפט פיתגורס
נציב r = 4 , h = 10:
l2 = 42 + 102
l2 = 16 + 100 = 116
l = √116 ≈ 10.77
📐 משפט פיתגורס
c2 = a2 + b2
c – היתר, a , b – הניצבים
c – היתר, a , b – הניצבים
סעיף ג (1) – הקו היוצר · המשך
l = √116 ≈ 10.77
✅ פתרון סופי: l ≈ 10.77 ס"מ
סעיף ג (2) – שטח המעטפת
M = πrl
נציב r = 4 , l = 10.77:
M = π · 4 · 10.77
📐 מעטפת חרוט
M ≈ 43.08 · 3.1416
M ≈ 135.34
✅ פתרון סופי: כ־135.34 סמ"ר
📐 מעטפת חרוט
l – הקו היוצר
M = πrl
M = πrl
סעיף ד – האם 60,000 סמ"ק יספיקו
300 נרות מסוג א':
שעווה = מספר הנרות · נפח נר
נציב מספר הנרות = 300 , נפח נר = 144:
300 · 144 = 43,200
250 נרות מסוג ב':
שעווה = מספר הנרות · נפח נר
סעיף ד – האם 60,000 סמ"ק יספיקו · המשך
שעווה = מספר הנרות · נפח נר
נציב מספר הנרות = 250 , נפח נר = 167.55:
250 · 167.55 ≈ 41,888
סך הכול:
43,200 + 41,888 = 85,088
85,088 > 60,000
סעיף ד – האם 60,000 סמ"ק יספיקו · המשך
85,088 > 60,000
צריך יותר שעווה ממה שיש, ולכן הכמות לא תספיק.
✅ פתרון סופי: לא – צריך כ־85,088 סמ"ק
📌 סיכום התשובות
סעיף א
144 סמ"ק
סעיף ב
נר מסוג ב'
ג (1)
≈ 10.77 ס"מ
ג (2)
כ־135.34 סמ"ר
סעיף ד
לא
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא